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045 中国传统数学理论的奠基人
刘徽
“传略”刘徽（公元3世纪中后期），魏晋时数学家，生平事迹不详。魏景元四年（263）注《九章算术》九卷，撰《重差》一卷，《九章重差图》一卷。唐代初年，《九章重差图》已佚，《重差》一卷单行，被称为《海岛算经》。他在《九章算术注》中提出了很多创见，尤其是用割圆术来计算圆周率的方法，含有极限概念，是他的一个最大创造。他正确地计算出圆内接正192边形的面积，从而得到圆周率π的近似值为157／50＝3.14，又计算出圆内接正3072边形的面积，从而得到π≈3927／250＝3.1416.这就是著名的割圆术。
“影响”中国是一个富有数学遗产的国家。十进位制的计数方法，通行于全世界，是最优的计数方法。中国的《易经》，64个卦象，就由一长横阳爻――和两短横阴爻――组成，变化奇妙无穷。德国17世纪大数学家莱布尼茨受《易经》卦象的启发，研究二进位制，认为阴、阳爻可以用0和1表示，并列出了二进制表。1701年，莱布尼茨完成了用二进制表示法，把《易经》64卦象全部用1和0表示出来，用以论证他的二进制表的可行性和准确性。1703年，论文发表，震惊了全世界。这个成果对世界近代科技的发展起了巨大的推动作用，现在已在各个领域得到了广泛应用。尤其是对于计算机的发明起了关键作用，因此，莱布尼茨被称为计算机之父。可以说，中国古代《易经》启发了现代科学技术。
中国古代有许多数学专著。前后成书的《九章算术》是算经十书中最重要的一种。该书系统总结了我国从先秦到东汉初的数学知识，成为集大成之作。全书分为九章。第一章方田，为分数四则算法和平面形求面积法；第二章粟米，粮食交易计算方法；第三章衰分，分配比例的算法；第四章少广，开平方与开立方的算法；第五章商功，立体形求体积法；第六章均输，管理粮食运输均匀负担的计算法；第七章盈不足，关于盈亏类问题的解法，以及用这种解法处理其他类型的算术问题；第八章方程，一次方程的解法和正负数；第九章勾股，勾股定理的应用和简单的测量问题的解法。
《九章算术》，提出了100多个一般性公式、算法，奠定了中国数学的基本框架，确立了中国数学以计算为中心的特点。全书含有246个应用题，体现了中国数学密切联系实际的风格，并且确立了中国古代数学以算法统帅应用题的基本形式。其中负数、分数计算，联立一次方程解法等都是具有世界意义的成就。
《九章算术》被历代官方定为数学经典著作，因此后世许多杰出的数学家都以为《九章算术》作注的形式施展才华，阐明自己的心得体会和发明创造。其中刘徽注更具有划时代的意义。他全面证明了《九章算术》的公式、解法，弥补了《九章算术》的不足，奠定了中国古代数学的理论基础，对中国传统数学的发展产生了深远的影响。当代著名数学家吴文俊高度评价说：“从对数学贡献的角度衡量，刘徽应该与欧几里得、阿基米得等相提并论。”
刘徽对许多数学概念给予了明确的定义，如：“凡数相与者谓之率”，“凡广从相乘谓之幂”，“两算得失相反，要令正负以名之”“群物总杂，各列有数，总含其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。”等。
刘徽在大量类比和归纳的基础上，发展了演绎的数学证明。他又以无穷小分割的思想和方法，首创割圆术，更是闪烁着现代数学基础理论的光辉。割圆术以内接正六边形开始割圆，边数成倍增加，则面积无限逼近圆面积。刘徽说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这一方法实质是用极限方法证明了“以半周乘半径而为圆幂”的圆面积公式，提出了求圆周率的正确方法，并从而奠定了中国圆周率计算方面在世界长期领先的基础。后来祖冲之计算圆周率π的近似值在3.1415926与3.1415927之间，应该也是用刘徽的割圆术方法求出的。
刘徽对鳖�，即四面皆为勾股形的四面体，以及对阳马，即直角四棱锥体的体积公式的证明，也是巧妙地运用无穷小分割的方法成功地解决的。刘徽还把无穷小分割思想用于近似计算。例如开方不尽时，“退之弥下，其分弥细”“求其微数”，可以计算方根和任意精确近似值。
1992年，山东科学技术出版社出版了郭书春的《古代世界泰斗刘徽》一书。郭氏研究，刘徽的数学体系，“发其一端”于“规矩、度量可得而共”，统一于数，由此根而产生数量的运算这个数学之树的主干。又以长方形面积公式、长方体体积公式、率、正负数的定义为前提，引出分数四则运算和今有术，又引出衰分术，均输术、盈不足术、开方术、方程术，面积问题、勾股测望问题、体积问题等主要枝条。再由此生发，分出约分、合分、减分、乘分、径分、平分、径率、其率、反其率、衰分、返衰、重今有、均输、盈不足、两盈不足、盈适足不足适足、三角形、梯形、圆、弧田、环田、圆周率、圆锥表面积、堑堵、阳马、鳖�、方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除、勾股定理、解勾股形、勾股数组、勾股容方容圆、一次测望、重差、三望、四望、开方、开圆、开带从方，开立方、开立圆、方程术、正负术、损益术、方程新术、互乘相消、不定方程等各种方法作为更细的枝条。主干、分枝、细枝，形成了一株枝叶繁茂，硕果累累的大树。郭氏的比喻恰当而形象，极为生动中肯。自刘徽注《九章算术》后，推动了中国古代数学的发展，后继作家蜂起，研究者不绝如缕。最有成就者要推南朝祖冲之、祖�父子，唐李淳风、北宋贾宪、南宋杨辉等，以及宋元数学大师秦九韶、李冶、朱世杰等，都在刘徽的启发下而发挥了新的创造，因而刘徽的名字也在这些人的著作中多次提到。
“余论”《九章算术》和刘徽注在明代中国传统筹算衰落时期，几乎失传。清代修《四库全书》得以重新面世。戴震、李潢、焦循、钱宝琮等人先后对《九章算术》和刘徽注进行了校勘、阐释，才使得这一珍宝重现光泽。戴氏等人可谓刘氏功臣。近年来，国际数学史界也十分关注对刘徽的研究。日本学者川原秀城已于1980年出版了《九章算术》及刘徽注的日译本。法译本、英译本也在中国学者和国外学者的合作中推出。刘徽的国际影响将会越来越大。随着时间的推移，这位中国古代的数学泰斗――刘徽定能名播中华，远传世界。
（刘春梅）
“传略”刘徽（公元3世纪中后期），魏晋时数学家，生平事迹不详。魏景元四年（263）注《九章算术》九卷，撰《重差》一卷，《九章重差图》一卷。唐代初年，《九章重差图》已佚，《重差》一卷单行，被称为《海岛算经》。他在《九章算术注》中提出了很多创见，尤其是用割圆术来计算圆周率的方法，含有极限概念，是他的一个最大创造。他正确地计算出圆内接正192边形的面积，从而得到圆周率π的近似值为157／50＝3.14，又计算出圆内接正3072边形的面积，从而得到π≈3927／250＝3.1416.这就是著名的割圆术。
“影响”中国是一个富有数学遗产的国家。十进位制的计数方法，通行于全世界，是最优的计数方法。中国的《易经》，64个卦象，就由一长横阳爻――和两短横阴爻――组成，变化奇妙无穷。德国17世纪大数学家莱布尼茨受《易经》卦象的启发，研究二进位制，认为阴、阳爻可以用0和1表示，并列出了二进制表。1701年，莱布尼茨完成了用二进制表示法，把《易经》64卦象全部用1和0表示出来，用以论证他的二进制表的可行性和准确性。1703年，论文发表，震惊了全世界。这个成果对世界近代科技的发展起了巨大的推动作用，现在已在各个领域得到了广泛应用。尤其是对于计算机的发明起了关键作用，因此，莱布尼茨被称为计算机之父。可以说，中国古代《易经》启发了现代科学技术。
中国古代有许多数学专著。前后成书的《九章算术》是算经十书中最重要的一种。该书系统总结了我国从先秦到东汉初的数学知识，成为集大成之作。全书分为九章。第一章方田，为分数四则算法和平面形求面积法；第二章粟米，粮食交易计算方法；第三章衰分，分配比例的算法；第四章少广，开平方与开立方的算法；第五章商功，立体形求体积法；第六章均输，管理粮食运输均匀负担的计算法；第七章盈不足，关于盈亏类问题的解法，以及用这种解法处理其他类型的算术问题；第八章方程，一次方程的解法和正负数；第九章勾股，勾股定理的应用和简单的测量问题的解法。
《九章算术》，提出了100多个一般性公式、算法，奠定了中国数学的基本框架，确立了中国数学以计算为中心的特点。全书含有246个应用题，体现了中国数学密切联系实际的风格，并且确立了中国古代数学以算法统帅应用题的基本形式。其中负数、分数计算，联立一次方程解法等都是具有世界意义的成就。
《九章算术》被历代官方定为数学经典著作，因此后世许多杰出的数学家都以为《九章算术》作注的形式施展才华，阐明自己的心得体会和发明创造。其中刘徽注更具有划时代的意义。他全面证明了《九章算术》的公式、解法，弥补了《九章算术》的不足，奠定了中国古代数学的理论基础，对中国传统数学的发展产生了深远的影响。当代著名数学家吴文俊高度评价说：“从对数学贡献的角度衡量，刘徽应该与欧几里得、阿基米得等相提并论。”
刘徽对许多数学概念给予了明确的定义，如：“凡数相与者谓之率”，“凡广从相乘谓之幂”，“两算得失相反，要令正负以名之”“群物总杂，各列有数，总含其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。”等。
刘徽在大量类比和归纳的基础上，发展了演绎的数学证明。他又以无穷小分割的思想和方法，首创割圆术，更是闪烁着现代数学基础理论的光辉。割圆术以内接正六边形开始割圆，边数成倍增加，则面积无限逼近圆面积。刘徽说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这一方法实质是用极限方法证明了“以半周乘半径而为圆幂”的圆面积公式，提出了求圆周率的正确方法，并从而奠定了中国圆周率计算方面在世界长期领先的基础。后来祖冲之计算圆周率π的近似值在3.1415926与3.1415927之间，应该也是用刘徽的割圆术方法求出的。
刘徽对鳖�，即四面皆为勾股形的四面体，以及对阳马，即直角四棱锥体的体积公式的证明，也是巧妙地运用无穷小分割的方法成功地解决的。刘徽还把无穷小分割思想用于近似计算。例如开方不尽时，“退之弥下，其分弥细”“求其微数”，可以计算方根和任意精确近似值。
1992年，山东科学技术出版社出版了郭书春的《古代世界泰斗刘徽》一书。郭氏研究，刘徽的数学体系，“发其一端”于“规矩、度量可得而共”，统一于数，由此根而产生数量的运算这个数学之树的主干。又以长方形面积公式、长方体体积公式、率、正负数的定义为前提，引出分数四则运算和今有术，又引出衰分术，均输术、盈不足术、开方术、方程术，面积问题、勾股测望问题、体积问题等主要枝条。再由此生发，分出约分、合分、减分、乘分、径分、平分、径率、其率、反其率、衰分、返衰、重今有、均输、盈不足、两盈不足、盈适足不足适足、三角形、梯形、圆、弧田、环田、圆周率、圆锥表面积、堑堵、阳马、鳖�、方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除、勾股定理、解勾股形、勾股数组、勾股容方容圆、一次测望、重差、三望、四望、开方、开圆、开带从方，开立方、开立圆、方程术、正负术、损益术、方程新术、互乘相消、不定方程等各种方法作为更细的枝条。主干、分枝、细枝，形成了一株枝叶繁茂，硕果累累的大树。郭氏的比喻恰当而形象，极为生动中肯。自刘徽注《九章算术》后，推动了中国古代数学的发展，后继作家蜂起，研究者不绝如缕。最有成就者要推南朝祖冲之、祖�父子，唐李淳风、北宋贾宪、南宋杨辉等，以及宋元数学大师秦九韶、李冶、朱世杰等，都在刘徽的启发下而发挥了新的创造，因而刘徽的名字也在这些人的著作中多次提到。
“余论”《九章算术》和刘徽注在明代中国传统筹算衰落时期，几乎失传。清代修《四库全书》得以重新面世。戴震、李潢、焦循、钱宝琮等人先后对《九章算术》和刘徽注进行了校勘、阐释，才使得这一珍宝重现光泽。戴氏等人可谓刘氏功臣。近年来，国际数学史界也十分关注对刘徽的研究。日本学者川原秀城已于1980年出版了《九章算术》及刘徽注的日译本。法译本、英译本也在中国学者和国外学者的合作中推出。刘徽的国际影响将会越来越大。随着时间的推移，这位中国古代的数学泰斗――刘徽定能名播中华，远传世界。
（刘春梅）
