漫话西周

第四十章 数学科学——筹算与算盘

　　我国是世界上最早发明数学科学的国家之一，享有很高的声誉。在远古时期就已产生了简单的数理知识，到商周我国的数学知识已取得了长足的发展，步入了新的发展阶段。考古发掘出土的甲骨文、全文和演算工具实物，可以概括出以下几方面的成就：

　　1.已发明了十进位制

　　这一发明是一仲极其伟大极其光辉的科学成就，马克思曾说过这是“最妙的发明之一”。

　　我国的十进位值记数法，在商代以前就有了。到了商周已进入到了成熟阶段。殷代甲骨文中已大量出现十进位数，如二千六百五十六写成甲骨文为门。六百五十九写成为，即六百又五十又九。这里把文字取掉后就成为六百五十九，这和十进位值制记数法全同，而这种记数法采取了一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等合文的方式记出十万以内的自然数，这个成就远远领先於世界各国。

　　到周代的甲、全文中这种用法已十分普遍，不管记载作器日期，或是记载战俘收获物的数量和纪年等都采用了十进位值制。

　　2.发明了二进位值制

　　这是遥遥领先於世界的重大成就。这个发明被普遍应用於当时神秘的《周易》八卦之中。

　　《周易》八卦起源甚早，以往一般人都把它视为神秘莫测的秘书。近年来随着国内外学者广泛的研究，都普遍认为这是一部哲理深奥、数理无穷的宝典，不仅具有辩证唯物思想，同时在八卦计算法中已具有二进位制的思想。郭沫若先生认为：“从《易》的纯粹的思想上来说，它之强调着变化而透辟地采取着辩证的思维方式，在中国的思想史上的确是一大进步。”冯友兰先生更进一步强调：《易学》是“一套比较完整的辩证的宇宙代数学。”潘雨廷先生说易学中“某些观点的确新颖，如时空合一，早有数学模型，早在研究信息论，且皆有相当成就。”

　　国外科学家也十分重视易学研究，并从中悟出二进位的真正函义。17世纪德国数学家、哲学家莱布尼茨成功地发明了二进位制数学体系和最初的计算机，他确是受了易图的启发，所以他认为二进位制发明权应归中国。至于莱布尼茨发明二进位制体系缘系八卦易图说，英国著名学者李约瑟在其《中国科学技术史》中作了详细介绍，并把两张《易图》（即莱布尼茨多方案取的）附在本书中，说明了他们二人如何求取《易图》和从中发现二进位制原理的过程。（详见王赣、牛力达、王兆玫著：《古易新编》序和前言）

　　3.筹算和算盘

　　关于算筹的记载，最早见于文献和实物的是《老子》和战国时期的刀币和布币上。《老子》书中有：“善计者不用筹策”。有此战国时期的刀、布币上已有筹算数字，如1、11、111、1111、⊥、π等《中国钱币辞典》

　　从以上材料分析，说明我国算筹这一计算工具在西周初就已发明，以往我们看到的实物是西汉以后的东西，故这一发现要比西汉实物早多了。

　　珠算和筹算一样，也产生於西周初年。珠算实物即陶球在周原扶风和岐山两座西周建筑基址中都有出土。在岐山凤雏村西周建筑基址的4号、5号和6号探方中，共有90个，这些陶球的形状为圆形，表面光滑，颜色分青、黄两种。李培业和刘亮同志结合古文献分析认为，这些陶球是我国迄今发现最早的计算工具之一的算盘的“算珠”，这种算珠是用作槽算盘作计算用的，使用时以色别珠，青色陶球为“天珠”，每珠代表数字为五，黄色陶球为“地珠”，每珠代表数为一，其使用比例为1：4，而凤雏遗址共出的九十粒陶球，其中黄色七十粒，青色二十粒，按1：4搭配成算盘还差十粒黄色球，这十粒也许已丢失了。这种陶球在扶风召陈遗址中也有出土，罗西章同志也同意这种看法（见罗西章：《周原出土的西周陶制生产工具》、《文博》1988年第5期；李培业：《关于西宫室遗址中出土的陶球考察》；刘亮《关于周原遗址出土的陶球》；户谷清一：《从西周宫室遗址出土的陶球探索算盘的起源》；铃木久男：《亚细亚算盘起源考》载《珠算史研究》第10号，1985年3月）。

　　这样一来，我国的算盘由春秋说提前到了西周初年与算筹一样，当是世界上最早的计算工具了。这种槽算盘以后在东汉、徐岳编撰的《数术记遗》，北周时甄鸾作了注，在此书中就提到了槽算盘的格式和运算，亦分青、黄二色作天、地珠，放在槽内，在横梁上下移动运算。

　　我国商周时期的数学在世界上是处在领先地位的，比埃及、希腊、巴比伦等国要先进的多。商代“在数学方面，卜辞中已有复位数，最大的数目是三万。商代已能进行一般的算术运算，能绘制比较复杂的几何图形”。（郭沫若：《中国史稿》第一册，201页，人民出版社出版，1976年7月）

　　在周代的贵族学校中已有数学课程的设置，《周礼》说保氏“教国子以艺”，谈到“六书”“九数”，即六十甲子序数和九九乘法表，九九口诀已经流行。《左传》昭公三十二年说周成王筑洛阳城前要统计各种材料说：“士弥牟营成周：计丈数，揣商卑，度厚薄，仞沟洫，物土方，议远迩，量事期，计徒庸，虑材用，书仓粮，以令役于诸候。属役赋丈，书以授帅，而效诸刘子。韩简子临之，以为成命。”这说明士弥牟把王城的长、宽、高和沟洫土石方、人口数、往返里程和干粮数等都计算非常周密，没有广精的数学知识是不可能作到的。足见我国当时的数学成就是对世界人类文明的重大贡献，比古巴比伦的六十进位制，古埃及的几个数字符号和古希腊的用字母表示1～1万的数要先进得多。比印度用阿拉伯数的十进位制要早一千多年，印度发明阿拉伯数是公元六世纪的事。

　　力学、声学和光学都是属於物理学范畴的学科，我国在商周时期在这三方面也取得了重大成就。

　　力学是包括所有的机械运动，而一个物体对另一个物体位置发生变化称机械运动。类似这类的运动变化被商周的劳动人民发现了，并极据其运动规律总结发明了力学方面的有关器具，如力矩和重心的关系。他们在总结我国仰韶文化的尖底瓶原理的基础上发明了“欹器”。西安半坡仰韶遗址出土的陶质尖底瓶，放入水中会自动倾倒，让水灌入，当水灌满后即自动竖立，这种利用重心和定倾中心的相对位置跟浮体稳定性关系的处理方法，发展到商周的“欹器”的制作，无疑是经过多次经验总结产生的。《荀子·宥坐》说这种器物“虚则欹，中则正，满则覆。”说明装水时不多不少时直立的，多了就翻倒，少了也倾斜，说明这种掌握重心升降达到稳定平衡的原理在当时已有深入的研究。

　　至于简单的机械，如杠杆、滑车、轮轴，桔棒、辘轳等都是力和力矩概念的应用。《墨经》记载杠杆支点的一边叫做“本”，另一边叫做“标”。说：“衡，加重于其一旁，必垂，权，重相若也。相衡，则本短标长。两加马，重相若，则标必下……长，重者下，短，轻者上”。这种距离和平衡关系的描述比公元前3世纪的阿基米德要早得多。《荀子》一书还讲到了力学中塑性形变的问题：“木直中绳，以为轮，其曲中规，虽有槁暴不复挺者，使之然。”这就是说笔直的木材经火烤弯成轮子以后，再枯干也不会重新变直。

　　在力学中的应力到战国时期已提出来了，并作了探索和大胆的设想。《列子·仲尼篇》说：“发引千钓。”，同时汤问篇说：“发引千钓，势至等也。”前者是公孙彪提出的，后者是公子牟加以发挥的，意思是一根毛发引千钓重物是由于重物作用在毛发上的“势”处，相等的缘故，也是我国自古以来流传的各言“千钧一发”的来历，当然任何材料都有负重的极限，一发不可能负如此重的东西，但是当时已看到平均分配在单位面积上的力，而正是这种单位截面积上所承受的重力，在近现代科学上就是“应力”的概念。

　　同时对浮力与比重的关系也有了科学的认识。《墨经》说：“荆（形）之大，其浓（沉）淡也，说在具（衡）”“沈（沉）、荆（形之具（衡）也，则沈（沉）浅，非荆（形）浅也。若易五之一。”这说明当时的科学家已认识到浮体沉浸在水中的部分（就是排开液体）和浮体的关系，这种原理和后来希腊阿基米德的浮力与比重的关系是一致的）。

　　运动力学方面在《考考记》等书中都有记载，如马车突然停止时，马不走了，但车子惯性前进一段。早在殷代人们就利用力的平行四边形法则设计出了戽斗，两个人利用绳拉戽斗把水从河渠中提到岸上的田地中，这二人的力加起来的合力就便戽斗一上一下运动，比一人提水要省力得多，效益也大为提高这种方法一直延用到现代，同时《考考记》中还把制造箭的要求进行了科学的规定，提出箭干、镞头、后羽要按一定比例制作，这样才能使箭在疾风中循着弹道前进。若箭干前轻后重，或前重后轻，都会影响箭飞行的高低。箭干中间若过轻或过重会影响箭飞行的稳定性，而箭尾羽毛多寡又会影响箭飞行的速度和准确度。这比中世纪才出现的亚里士多德学派抛射体沿直线前进的理论要高明得多。

　　声学是研究一切声音的科学。西周时期声学的发展也是十分令人惊叹的，这门科学在我国具有十分悠久的历史，早在炎黄时代就发明了“五声”、“五音”，考古出土了类似吹奏的乐器，如陶殒、骨笛等。到了商周得到了进一步的发展，尤其是钟磬音乐和音律学取得了显著成就。商代已能用各种材料，如金、石、竹、木、草、丝、陶等制造各种乐器，考古发现的有埙、磬、、鼓等，有些是成分里的演奏乐器。

　　音律学是对乐器的乐谱进行数学研究的科学。律是指的每个音的音高规律。编钟和石磬在商代得到了发展，进入西周时更为发展了，西周初期已经发明了十二个律，能在一个音阶中确定十二律，并在十二律中选取五个或七个音，组成一个音阶的乐制已经形成到了春秋三分损益法也产生了，以此处理弦、管的长度和发音高低的关系，其原理是以一个被认定为基音的弦或管的长度为原则，把它三等分，再损一（去掉一分）和益一（加上一分），再以此确定另一个律的长度，这在数学上讲，就是把发基音的弦的长度乘以三分之二，或乘以三分之四，以此类推，直到弦或管上得出比基音略高一倍或低一倍的音，这样就完成了一个音阶中的十二律的粗细及张力大小计算工作，使音调随弦线和管的长度粗细及张大小的变化而变化。在乐器方面，当时不仅有钟、磬、、鼓等打击乐器，还有多孔的管、用簧的笙和竽、用弦的琴和瑟等，并能利用共振原理，用各处簧在各种不同长度的小竹管中振动，发出不同高度的共鸣声，起到了音箱的作用。

　　“五声”，即指宫、商、角、徵、羽五个音阶，在此基础上发展为十二个音，即“十二律”而十二律又分六律六吕，故亦称为“律吕”。这门包含物理学中的声学、音响和计量学的综合学科，即律吕学，此时已经形成。

　　如在河南辉县琉璃阁殷墓和安阳小屯殷墓出土的大小陶埙，均为圆锥形，有五个音孔

　　这些膏铜编钟能发出各种幽雅动听的音调，与其特殊的造型是分不开的，所有钟都似两块瓦合在一起的样子，这样就防止了发出的音波互相干挠的弊端，所以《周礼·考工记》说：“钟大而短，则其声疾而短闻，钟小而长，则声舒而远闻。”这说明当时后人们设计制造钟时已考虑到了钟的结构与传声，发声响度的关系。沈括在《梦溪笔谈》中从理论上分析钟的结构原理时说：“古乐钟皆扁如盒（合）瓦，盖钟圆则声长，扁则声短。声短则节；声长则曲，节短处皆相札，不成音律。后人不知此意，悉为（圆）钟，急叩之多晃晃尔，清浊不复可辨。”何若用圆钟的话，则声波会互相干扰，采取编钟就避免了这个问题的产生。

　　《庄子·杂篇·徐无鬼》中还说到了基音和泛音的共振现象。他说：“为之调瑟，废（即置）于一堂，度于一室。鼓宫宫动，鼓角角动，音律同点。夫改调一弦，于五音无当也，鼓之，二十五弦皆动。”描述了基音的共振现象和基音与泛音的关系。这一发现在声学史上比西方人要早得多。

　　古代的音乐家总是要“量之以制，度律均钟”，也就是说必须根据一定的计算方法得出律来处理钟的大小顺序和发音高低，这样用“纪之以三，平之以六，成于十二”。这种“纪之以三”的科学计算法才能得出准确的六律与六吕，六律和六吕合起来成为十二律吕。

　　光学在现代科学中是一门十分重要的学科。商周的劳动人民在生产和科学实验中已观察到光的性质即直线传播，光的反射、折射等一系列原理，并根据光的特性发明了种种利用光能的器具，铜镜和阳燧。后者是迄今发现我国最早利用太阳能的取火工具。至于铜镜的出现就更早了。在青海省贵南县齐家文化遗址中就有铜镜一面，到了西周光在陕西周原扶风一带就出土了三面西周早晚期的铜镜，其中二面为素面、凸镜、一面为重环纹凹镜，这说明当时人们对光的反射已有深刻的认识，一般铜镜凸面多，能照全脸面，而凹面镜还起到了放大脸面的作用。后来宋人沈括在《梦溪笔谈》中就总结了这一原理，他说：“凡洼则照人面大，凸则照人小，小金不能全观人面，故令微凸，收人面令小，则金虽小而能全纳人面。”（参见《扶风县志》138页。）到战国时铜镜就更多了。并在花纹装饰上也开始讲究，以流行的蟠龙纹居多。

　　当时在利用铜镜进行梳装打扮外，人们还发现了凹面镜的聚焦特性，利用它向日取火，当是世界上最早利用太阳能的典型例证，这种镜在古代亦称为阳燧。这种阳燧在周原就出土。1995年3月，周原考古队在周原扶风黄堆发掘西周墓时於60号西周墓出土了一种呈圆形的青铜凹面镜，其直径8.8、原0.19厘米，其形状与现在的圆形太阳能灶相仿，经西安西北光学仪器厂对周原阳遂的测定，其曲率半径20厘米，为一标准的球面镜，周原博物馆按照原样仿铸了一件，经试验，在强阳光下，最快时需三五秒钟即可将放置于焦点处的易燃物引燃而产生明火，证明了该镜为“阳燧”无疑。

　　“阳燧”在古文献中多有记载。《周礼·秋官、燧氏》说：“司燧氏掌以夫燧取明火于日。”郑玄注：“夫燧，阳燧也。”《疏》云：“以其太阳之精，取火于日，故曰阳燧。”《周礼·考工记人》云：“金锡半，谓之鉴，燧之齐。”《淮南志·天文明》进一步解释阳燧说：“故阳燧见日，则燃而为火。”注云：“阳燧，金也，取金杯无缘者，熟摩会热，日中时，以当日下，以艾承之，则燃得火也。”崔豹在《古今注·杂注》中亦说：“阳燧以铜为主，形如镜、照物则影倒，向日则火生，以艾燃之则得火。”足见阳燧是我国周代利用太阳能的青铜工具。在世界科技史上占有重要地位。（参见：《中国文物报》1995年11月19日，边江、杨官：《陕西出土西周青铜阳燧》副标题：《迄今国内最早人工金属取火用具》）

　　到春秋战国时伟大的科学家墨翟等人曾对光束、光的折射、反射等原理作了理论上的探讨，他是世界上第一个进行小孔成倒像的实验家，并作了科学的解释。他解释说光穿过小孔如射箭一样，是直线行进的，人的头部遮住了上面的光，成影在下边，人的足部遮住了下面的光，成影在上边，就形成倒立的影，这是对光直线传播的第一次科学解释。

　　墨家对凸凹镜、面的研究也是十分深刻的，在《墨经》是我国最早的一部科学名著。在这部著作中明确记载了墨家对凹面球面镜照物时，球心与焦点已能区分，并得出：“当物作放在球心之内得到的是正立的象，距球心近的像大，远的像小。当物体置在球心之外，则是倒立的像，距球心近的像大，远的像小。当物体在球心处时则像和物体重合在一起的结论。

　　对凸面镜研究的结论是：凸面镜的像不管物体放在何处都是一个正立的像。像在镜面的另一侧是虚像，而比原象物体都小。